Função exponencial e equações diferenciais

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrodinger  e a equação de Laplace assim como as equações para omovimento hormônico simples .ar]

Função exponencial no plano complexo

Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:

e^z + w = e^ze^w

e⁰ = 1

para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica  que é periódica com o período imaginário 2πi que pode ser escrita como

e^a + bi = e^a(cos b + isin b)

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas , e essa é a razão que estendendo o logaritmo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: z^w = e^wln z para todos os números complexos z e w.

Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

É fácil ver, que a função exponencial descreve qualquer curvano plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo.r]

Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach , e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

e^x + y = e^xe^y

se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)

e⁰ = 1

e^x é invertível com inverso e^-x

a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·e^x.

No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

f(t) = e^tA

onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

f(s + t) = f(s)f(t)

f(0) = 1

f'(t) = Af(t)r]

Mapa exponencial nas álgebras de Lie

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.