Função Exponencial

Funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente.
Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R₊^* tal que ƒ(x)= a^x em que a € R, 0<a≠1.
O a é chamado de base e o ^x de expoente.


A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.

Propriedades da Função Exponencial
• Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que a^x=a^t↔ x = t;
• A função exponencial ƒ(x)=a^x é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;
• A função exponencial ƒ(x)=a^x é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;
• Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=a^x com a € R₊^* e a ≠ 1 é bijetora;

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como e^x (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma sequência:

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor de e¹ é aproximadamente 2.718281828

Se x é real, então e^x é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, ou logarítmo neperiano , ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

a^x = e^xln a

Para todo a > 0 e .

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Eulere para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:

a⁰ = 1

a¹ = a

a^x + y = a^xa^y

a^xb^x = (ab)^x

^{Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:}